1.5 Bodové grupy v mineralogii

Bodové grupy (také kapitola 1.3.3.1.) jsou tvořeny uzavřenými operacemi symetrie a jejich kombinací. Bodová grupa je definována jako množina uzavřených operací symetrie, jejichž operace ponechávají alespoň jeden bod v prostoru nepohyblivým. Všechny translační operace jsou vyloučeny. Těmto požadavkům vyhovuje 8 základních beztranslačních prvků symetrie: 1, 2, 3, 4, 6, -4, i, m. Tyto prvky a jejich možné kombinace tvoří 32 krystalografických bodových grup, jimiž lze charakterizovat symetrii vnějšího tvaru krystalů. Bodové grupy odvozené od prostorových grup s maximální symetrií, mají rovněž maximální symetrii možnou v dané krystalové soustavě. Tyto bodové grupy obsahují všechny prvky symetrie bodových grup s nižší symetrií (subgrupy).

1.5.1 Značení bodových grup

Symetrické směry (krystalograficky významné směry) mají v bodových grupách stejný vztah k prvkům symetrie jako v grupách prostorových. Symboly bodových grup mohou být nejvýše trojčlenné. Znaky v symbolech jsou uvedeny v pořadí krystalograficky významných směrů a vztahují se na osy symetrie rovnoběžné s významným směrem a na roviny symetrie kolmé k významnému směru. Je-li na některou osu symetrie kolmá rovina symetrie, označujeme to lomítkem např. 2/m (obrázek 15-1).

1.5.1.1 Krystalograficky významné směry

Krystalograficky významné směry definují směry případných prvků symetrie v jednotlivých soustavách. Jsou následující:

triklinická soustava nemá žádný významný směr, jediným prvkem symetrie může být střed inverze.
monoklinická soustava má významný směr, který odpovídá dvojčetné rotační ose symetrie nebo dvojčetné inverzní ose symetrie. Tento směr volíme vždy podél souřadnicové osy b (pravolevé).
rombická soustava má tři významné směry a to ve směrech jednotlivých os a, b a c, takže se jedná o vzájemně kolmé směry.
tetragonální soustava má první významný směr ve směru vertikální osy c, ve kterém je orientována čtyřčetná rotační nebo inverzní osa symetrie. Druhý významný směr odpovídá pasným osám a₁ a a₂, třetí významný směr svírá s druhým úhel 45° (jedná se o meziosní směry v pasné rovině). Druhý a třetí významný směr jsou kolmé na první významný směr.
hexagonální a trigonální soustava má první významný směr orientovaný ve směru vertikály c a v tomto směru je orientována šestičetná rotační (inverzní) nebo trojčetná rotační (inverzní) osa symetrie. Druhý významný směr je směrem pasných os a₁, a₂, a₃ a třetí významný směr svírá s druhým úhle 30° (jedná se o meziosní směry v pasné rovině). Druhý a třetí významný směr jsou kolmé na první významný směr.
kubická soustava má první významný směr odpovídající třem stejnocenným osám a₁, a₂, a₃. Druhý významný směr je orientován podél tělesových úhlopříček krychle a třetí významný směr odpovídá směrům stěnových úhlopříček krychle.

1.5.1.2 Mezinárodní značení bodových grup

Pro bodové grupy se používá mezinárodní symbolika, někdy též označovaná jako Hermann - Mauguinovo značení. Základem jsou symboly prvků symetrie v tzv. krystalograficky významných směrech. Symboly mohou být nejvýše trojčlenné. Znaky v symbolech jsou uvedeny v pořadí významných směrů dané krystalové soustavy (viz kapitola 1.5.1.1.). Krystalografická oddělení jsou pro jednotlivé soustavy uvedeny v následujícím přehledu bodových grup.

1.5.1.3 Schoenfliesovo značení bodových grup

Tento typ značení je založen na podobných symetrických znacích některých bodových grup. Grupy obsahující pouze jednu n-četnou rotační osu symetrie se nazývají cyklické (symbol C₁, C₂ a pod.). Grupy, tvořené n dvojčetnými rotačními osami symetrie kolmými na rotační osu n-tého řádu, jsou grupy diedrické (symbol D₂, D₃ a pod.). Spolu s grupami O a T (popisují symetrii oktaedru a tetraedru) máme celkem 11 axiálních grup (přítomny pouze osy symetrie). Doplníme-li je středem nebo rovinami symetrie, obdržíme dalších 20 grup a s bodovou grupou S₄ je celkový počet 32. Přehled Schoenfliesových symbolů je následující:

C_n - grupy obsahující pouze vertikální polární rotační osu n-tého řádu (C₁, C₂, C₃, C₄, C₆)
D_n - grupy obsahující vertikální rotační osy n-tého řádu a k nim n kolmých os 2. řádu (= dvojčetných rotačních os) (D₂, D₃, D₄, D₆).
S₄ - rotačně inverzní osa 4. řádu
O - grupa oktaedru nebo krychle; obsahuje 3 osy 4. řádu, 4 osy 3. řádu a 6 os 2. řádu
O_h - grupa oktaedru doplněná o inverzi
T - grupa tetraedru; obsahuje 4 osy 3. řádu a 3 osy 2. řádu
T_h - grupa tetraedru doplněná o inverzi
T_d - grupa tetraedru doplněná o diagonální roviny symetrie
C_ni - grupy C_n doplněná o inverzi (C_i= i, C_3i)
C_nh - grupy C_n obsahující rovinu symetrie kolmou na osu n-tého řádu (C_1h = C_s, C_2h, C_3h, C_4h, C_6h)
C_nv - grupy obsahující n rovin symetrie procházejících vertikální polární osou n-tého řádu (C_2v, C_3v, C_4v, C_6v)
D_nh - grupy obsahující všechny prvky D_n a navíc horizontální rovinu symetrie kolmou k ose n-tého řádu (D_2h, D_3h, D_4h, D_6h)
D_nd - grupy obsahující všechny prvky D_n a navíc roviny symetrie protínající se v ose n-tého řádu a půlící úhly mezi osami 2. řádu (D_2d, D_3d)

Mimo jiné např. platí: C_4i = S₄, C_6i = C_3h a pod.

1.5.2 Vlastnosti bodových grup

Bodová grupa rombické soustavy se symbolem mm2 má roviny symetrie kolmé k osám a, b a dvojčetnou rotační osu symetrie rovnoběžnou s osou c. Místo úplných symbolů se často používají symboly zkrácené, které jsou odvozeny od úplných tak, že ve význačných směrech zůstanou jen znaky prvků symetrie, z nichž vyplývá existence všech dalších. Např. symbol 2/m 2/m 2/m je zkrácen na mmm, protože ze tří na sebe kolmých rovin symetrie vyplývají tři navzájem kolmé dvojčetné rotační osy symetrie.

V bodových grupách, které obsahují střed inverze, nemohou existovat polární směry. V odděleních bez středu symetrie jsou polární všechny směry s výjimkou směrů kolmých na rotační osy sudého řádu nebo roviny symetrie a směrů splývajících s inverzními osami symetrie. Střed symetrie má 11 tzv. centrických bodových grup: -1, -3, 4/m, 6/m, m3, 2/m, mmm, -3m, 4/mmm, 6/mmm, m-3m. Ostatní bodové grupy se označují jako acentrické.

Bodové grupy, které se navzájem liší jen přítomností nebo nepřítomností středu symetrie a prvků, které v důsledku tohoto středu vznikly, zahrnujeme do stejné skupiny tzv. Laueho grupy.

Dva zrcadlově shodné objekty, které popisuje bodová grupa obsahující pouze osy symetrie, se nazývají enantiomorfní. Takové objekty mají tvar a symetrii identickou, ztotožněny mohou být pouze zrcadlením v rovině symetrie. Symetrie v enantiomorfních odděleních popisují tzv. enatiomorfní bodové grupy (nemají střed symetrie a nemají roviny zrcadlení): 1, 2, 3, 4, 6, 222, 32, 422, 622, 23, 432.

1.5.3 Kombinace prvků a operací symetrie v bodových grupách

V úvodu kapitoly 1.5. jsme definovali bodové grupy jako množiny operací a prvků symetrie, které neobsahují translaci. Vzájemné kombinace prvků symetrie v bodových grupách se řídí přesně stanovenými zákonitostmi, jejichž znalost nám může usnadnit nalezení všech prvků symetrie na krystalu. Jedná se zejména o tato pravidla:

V hlavních a význačných směrech krystalu se mohou vyskytovat samostatné rotační osy symetrie (starší označení rotačních os: 1 = monogyra, 2 = digyra, 3 = trigyra, 4 = tetragyra a 6 = hexagyra). V takovém případě jsou osy polární a na morfologii krystalu se to může projevit protipólovým vývojem.
V průniku n rovin symetrie existuje n-četná rotační osa symetrie. Její četnost závisí na úhlu (n = p/a), který svírají protínající se roviny symetrie. Vzniklá rotační osa je polární, např. 2mm, 3m, 4mm, 6mm (obrázek 15-2).
Analogicky platí, že prochází-li rovina symetrie n-četnou osou symetrie, bude se v této ose protínat dalších n-1 rovin symetrie (obrázek 15-3).
N-četné osy symetrie sudého řádu sdružené s kolmou rovinou symetrie podmiňují přítomnost středu symetrie (obrázek 15-4).
Leží-li dvojčetná rotační osa symetrie v rovině symetrie kolmé na n-četnou osu symetrie, je přítomno dalších n-1 dvojčetných rotačníchos symetrie, které svírají úhel a = p/n.
Nalezneme-li dvě dvojčetné rotační osy symetrie svírající úhel a, existuje na ně kolmá n-četná rotační osa symetrie, kde n = p/a a počet dvojčetných rotačních os symetrie se doplní na n (např. 222, 32, 422, 622, 432, viz obrázek 15-5).
V hlavních a význačných směrech krystalu se mohou vyskytovat inverzní osy symetrie (starší značení `1 = inverze, `2 = digyroida, `3 = trigyroida, `4 = tetragyroida, `6 = hexagyroida). Tyto inverzní osy symetrie mohou být dipolární a liché z nich podmiňují střed symetrie.
Stejnocenné dvojčetné rotační osy symetrie v osním směru kolmé na inverzní osu symetrie podmiňují přítomnost meziosních rovin symetrie (obrázek 15-6).
Pokud inverzní osu symetrie protínají roviny symetrie, je podmíněna existence dvojčetných rotačních os symetrie v osových směrech.

1.5.4 Typy krystalových tvarů v bodových grupách

Pokud jsou operace symetrie bodové grupy aplikovány na vybranou krystalovou plochu, vznikne určitý počet ekvivalentních ploch. Soubor ekvivalentních ploch se označuje jako krystalový tvar (viz kapitola 2.3.). Krystalové tvary lze podle jejich vztahu k prvkům symetrie bodové grupy rozdělit na obecné, speciální a limitní.

1.5.4.1 Obecný krystalový tvar

Obecný krystalový tvar je soubor ekvivalentních ploch, kdy každá z nich má plošnou symetrii 1. Jinými slovy, póly ploch obecného krystalového tvaru neleží ve sterogramu na žádném prvku symetrie (obrázek 15-7). Obecný tvar má Millerův symbol {hkl}. Póly ploch obecného tvaru ve stereografické projekci mají dva stupně volnosti. Můžeme jimi pohybovat ve dvou směrech, beze změny k jinému krystalovému tvaru, pouze se mění indexy {hkl}, které dají vzniknout nekonečnému množství obecných krystalových tvarů. Prakticky ale existují na reálných krystalech jen některé z těchto možných ploch (velké číselné hodnoty Millerových indexů jsou málo pravděpodobné).

1.5.4.2 Speciální krystalový tvar

Speciální krystalový tvar je soubor ekvivalentních krystalových ploch, které mají svoji symetrii vyšší než 1. Ve stereogramu leží póly těchto ploch na jednom nebo více prvcích symetrie (obrázek 15-8). Pokud pól dané plochy leží na jediném prvku symetrie má ve stereografické projekci jeden stupeň volnosti a můžeme s ním pohybovat v jednom směru, aniž bychom změnili charakter krystalového tvaru. Pokud pól plochy leží na více prvcích symetrie, nemá v rámci stereografické projekce žádný stupeň volnosti, je definován jednoznačně.

1.5.4.3 Limitní krystalový tvar

Limitní krystalový tvar je zvláštní případ buď speciálního nebo obecného krystalového tvaru. Má stejný počet ploch, každá má stejnou plošnou symetrii, ale plochy jsou jinak uspořádány. Na obrázku 15-7 je stereogram bodové grupy 4, kdy se póly tetragonální pyramidy posunou na okraj ekvatoriální roviny a vznikne tak tetragonální prizma {hk0} jako limitní tvar obecného tvaru tetragonální pyramidy s plošnou symetrií 1.

1.5.5 Asymetrická plošná jednotka bodové grupy

Asymetrická plošná jednotka bodové grupy je z pohledu sférické projekce nejmenší část z povrchu projekční koule, pomocí které je možno operacemi symetrie dané bodové grupy generovat zbylou plochu projekční koule. Z pohledu stereografické projekce se jedná o nejmenší výřez z projekčního kruhu, z něhož pomocí přítomných prvků symetrie sestavíme celý stereogram (obrázek 15-9). Rozměr asymetrické základní buňky je prostý poměr plochy kruhu ve stereografické projekci k počtu ploch obecného tvaru. V případě bodové grupy 4/m 2/m 2/m (obrázek 15-9) je velikost asymetrické plošné základní jednotky 1/16.

Asymetrická plošná základní jednotka bodové grupy obsahuje všechny informace nezbytné k úplnému popisu krystalového tvaru v dané bodové grupě.

1.5.6 Určování bodových grup na krystalu

Před stanovením bodové grupy krystalu musí být vybrán jeden ze sedmi krystalových systémů (obrázek 15-10). Pro zařazení krystalu do bodové grupy a pojmenování přítomných krystalových tvarů můžeme postupovat následujícím způsobem:

Najdeme na krystalu všechny přítomné prvky symetrie a sledujeme jejich vzájemný vztah (viz kapitola 1.5.3.).
Podle nalezených prvků symetrie sestavíme mezinárodní symbol bodové grupy. Pozor na stejnocenné prvky symetrie, ty se objeví v symbolu pouze jednou. Pořadí symbolů odpovídá krystalograficky významným směrům. Pojmenujeme bodovou grupu krystalu.
Orientujme těleso krystalu v prostoru vzhledem ke krystalografickému osnímu kříži. Vícečetné osy jsou zpravidla vertikálami (nemusí platit v kubické soustavě).
Pojmenujeme jednotlivé krystalové tvary na krystalu. Začínáme obvykle od největších ploch, dobře si všímáme počtu stejnocenných ploch a jejich polohy vzhledem k prvkům symetrie.

K určení bodové grupy není vždy nutné znát všechny prvky symetrie. Některé prvky symetrie lze odvodit z kombinace ostatních prvků symetrie, např. střed symetrie z prvků 2/m.

Určení symetrie krystalu nemusí být vždy jednoznačné. Příkladem může být hexaedr, který se jako krystalový tvar vyskytuje ve všech pěti kubických bodových grupách. Určíme-li prvky symetrie hexaedru, povede to vždy k bodové grupě nejvyšší symetrie m-3m. Pyrit (bodová grupa m-3) má krystaly velmi často omezené hexaedrem, ale plochy hexaedru jsou běžně rýhované, což značí nižší symetrii dané bodové grupy, než by odpovídalo přítomnému hexaedru.

Jiné dvojznačné případy jsou například leptové obrazce, které indikují skutečnou symetrii krystalové plochy. Obrazce jsou zpravidla spojeny s plochami s vysokými Millerovými indexy a jsou patrné až po působení rozpouštědla na tyto plochy.

1.5.7 Vliv symetrie bodových grup na fyzikální vlastnosti krystalů

Optická aktivita je schopnost některých krystalů a molekul stáčet rovinu polarizovaného světla. Je to možné pouze v bodových grupách, které jsou enantiomorfní. Optická aktivita může být vlastností krystalu a ztrácí se, pokud je krystal roztaven nebo rozpuštěn. Příkladem může být nižší křemen nebo NaClO₃. Ve dvou enantiomorfních formách není jen morfologický tvar, ale i celá struktura. Forma „levotočivá“ stáčí rovinu polarizovaného světla doleva, forma „pravotočivá“ stejnou intenzitou doprava. V praxi bylo ověřeno, že optická aktivita není omezena pouze na 11 enantiomorfních oddělení, ale je známa i z bodových grup m, mm2, -4 nebo –42m.

V některých krystalech, jsou-li podrobeny tlaku nebo tahu, vzniká v určitých směrech elektrický náboj. Jev lze demonstrovat na destičce křemene (bodová grupa 32), seříznuté kolmo k polární dvojčetné ose. Směr působení tlaku nebo tahu musí být rovněž podél polární osy. Polární osa má na své paralelní a antiparalelní straně rozdílné fyzikální vlastnosti a proto se budou na opačných stranách destičky hromadit opačné náboje. Při změně tlaku za tah se bude měnit polarita elektrického pole.

Piezoelektrické vlastnosti se projeví jen u látek z bodových grup s polární osou a bez středu symetrie. Vlastnost má rovněž reverzibilní charakter – pokud aplikujeme na krystal elektrické pole, dojde k jeho kompresi nebo expanzi.

Zpět na hlavní stránku