1.4  Krystalová mřížka

hlavní stránka obsah učebnice mapa webu o autorech rejstřík

1.4.1  Konstrukce krystalové mřížky

1.4.2  Mřížkový vektor

1.4.3  Základní buňka mřížky

1.4.4  Bravaisovy mřížky

1.4.4.1  Rovinné Bravaisovy mřížky

1.4.4.2  Prostorové Bravaisovy mřížky – primitivní

1.4.4.3  Prostorové Bravaisovy mřížky – centrované

1.4.5  Krystalové soustavy

1.4.6  Indexy mřížkových uzlů

1.4.7  Indexy mřížkových přímek

1.4.8  Indexy mřížkových rovin

1.4.9  Krystalová struktura

Tuhé krystalické těleso v rovnovážném stavu můžeme definovat jako skupinu periodicky rozložených stavebních částic (atomy, ionty), které kmitají kolem specifických poloh (uzlových bodů), tvořících prostorovou mřížku. Prostorová mřížka představuje schéma translační periodicity rozložení částic ve struktuře krystalu. Krystalová mřížka je abstraktní pojem, který vyjadřuje translační periodicitu rozmístění identických bodů v krystalu. Tyto body mají stejnou hodnotu fyzikálních a geometrických vlastností (tj. stejné a stejně orientované okolí). Pojem reálná struktura krystalu představuje konkrétní prostorové rozložení částic a je dána fyzikálními zákonitostmi, takže symetrické rozložení atomů není příčinou, ale důsledkem konfigurace fyzikálních sil v prostoru.

 

1.4.1  Konstrukce krystalové mřížky

Mějme v prostoru bod A0, který podrobíme translaci a (posunutí o úsek a) tak, že dostaneme bod A1. Opakováním postupu pro translaci +a  a rovněž -a, dostaneme množinu translačně identických bodů A-n ... A+n (obrázek 14-1). Body leží na jedné přímce, kterou označujeme jako uzlová (mřížková) přímka. Vzdálenost dvou libovolných identických bodů se označuje jako perioda identity. Dva body jsou identické (translačně identické), pokud jsou jejich okolí identická pro tutéž translaci.

Podrobíme-li vzniklou uzlovou přímku translaci b (která není rovnoběžná s danou přímkou) v kladném i záporném směru, dostaneme mřížkovou rovinu (obrázek 14-2). Vektor a, vektor b a úhel mezi nimi tvoří základní buňku rovinné mřížky.

Získanou mřížkovou rovinu podrobíme translaci c (která neleží v mřížkové rovině) v kladném i záporném směru a dostaneme prostorovou mřížku (obrázek 14-3). Uzlové body mřížky Auvw jsou translačně identické s výchozím bodem A000 od něhož konstrukce začala. Prostorová mřížka je na rozdíl od krystalu nekonečná.

 

1.4.2  Mřížkový vektor

Vektor, který spojuje dva libovolné uzly v krystalové mřížce, se označuje jako mřížkový vektor: 
t[mnp] = ma + nb + pc,  
kde m, n, p jsou celá čísla a a, b, c jsou periody identity ve třech nekomplanárních směrech (obrázek 14-3).

Mřížková přímka je taková přímka, která prochází dvěma mřížkovými uzly. Mřížková rovina je definována třemi mřížkovými uzly, které neleží na jedné přímce.

 

1.4.3  Základní buňka mřížky

Buňka mřížky je libovolný rovnoběžnostěn, jehož vrcholy jsou mřížkové uzly (obrázek 14-4). Tato buňka je určena velikostí mřížkových vektorů umístěných do hran rovnoběžnostěnu a třemi úhly, které tyto vektory svírají. Hodnoty a, b, c, a, b, g se označují jako parametry buňky. Jsou uspořádány podle pravotočivé vektorové soustavy, takže úhel a je mezi b a c, úhel b mezi a a c a úhel g mezi a a b (obrázek 14-5).

Jako základní (elementární) buňku mřížky označujeme rovnoběžnostěn definovaný základní velikostí vektorů period identity v jednotlivých směrech a charakterizující příslušnou krystalovou strukturu (viz kapitola 1.4.4.3.).

 

1.4.4  Bravaisovy mřížky

K popisu krystalových struktur se běžně používá Bravaisových mřížek, které mohou být jednorozměrné (lineární), dvojrozměrné (rovinné) a trojrozměrné (prostorové).

Obecná prostorová mřížka bez omezení tvaru základní buňky může být použita k popisu libovolného krystalu. Nicméně se ve většině případů používá mřížek se speciálními charakteristikami, tzn. rozměry základní buňky jsou v některých případech stejné ve dvou nebo třech směrech, případně svírají zcela speciální úhly. Zcela obecná mřížka nemá žádný prvek symetrie, kromě středu inverze. Přítomnost rotačních os nebo rovin symetrie ovlivňuje určitým způsobem charakteristiku mřížky a vzniká mřížka speciální. Speciální mřížky zjednodušují definici morfologie krystalu i jeho fyzikálních vlastností. Platí, že pokud jsou si mřížkové translace ve dvou směrech rovny, budou si rovny i fyzikální vlastnosti v týchž směrech.

Krystalové struktury minerálů popisují prostorové Bravaisovy mřížky, které podle typu jejich základní buňky můžeme rozdělit na primitivní (viz kapitola 1.4.4.2.), označované P a čítající jeden mřížkový bod na buňku a centrované (viz kapitola 1.4.4.3.), které obsahují více mřížkových bodů na buňku.

1.4.4.1  Rovinné Bravaisovy mřížky

Rovinná mřížka je jednoznačně určena dvojicí nekolineárních mřížkových vektorů, které mohou mít v obecném případě libovolnou délku a svírat libovolný úhel. Tyto dva mřížkové vektory tvoří dvě strany trojúhelníka, takže počet typů rovinných mřížek je shodný s počtem druhů trojúhelníků. Protože existuje pět typů trojúhelníků (obecný, rovnoramenný, pravoúhlý nerovnoramenný, pravoúhlý rovnoramenný a rovnostranný), existuje i pět typů rovinných Bravaisových mřížek.

Obecná (kosoúhlá) rovinná mřížka vznikne, vezmeme-li bod v rovině a pomocí dvojčetné rotační osy symetrie vytvoříme ekvivalentní bod. Další ekvivalentní bod vznikne aplikací mřížkové translace a na původní bod, atd. (obrázek14-6). Vznikne tak základní buňka rovinné mřížky ve tvaru kosoúhelníku, kde a0 ≠ b0 g ≠ 90° (mřížka je definována různocennými vektory a, b a úhlem g  ≠ 90°, který svírají). Uvedené hodnoty je možno libovolně v rámci daných pravidel měnit bez ztráty přítomnosti dvojčetné osy. Tento typ rovinné mřížky je zcela obecný.

V pravoúhlé rovinné mřížce tvoří jednotlivé uzly vrcholy pravoúhlého trojúhelníku (obrázek 14-7). Operace podle dvojčetné rotační osy symetrie dá vzniknout pravoúhlé primitivní základní buňce, kde a0 ≠ b0 a g = 90° (je definována různými translačními vektory a, b a úhlem g, který je 90°). Uspořádání uzlových bodů je speciální, protože vznikají další prvky symetrie a to dvě kolmé roviny symetrie, obě paralelní s dvojčetnou rotační osou symetrie (obrázek 14-7).

V romboedrické rovinné mřížce tvoří vždy tři uzly rovnoramenný trojúhelník. Základní buňka je kosočtverec, kde a0 = b0 a g ≠ 60°, 90° nebo 120° (obrázek 14-8). Protažením hran základní buňky o další mřížkovou translaci může vzniknout alternativní základní buňka, která je pravoúhlá (a0 ≠ b0 a g = 90°) a označuje se jako centrovaná, protože má ve středu buňky bod translačně identický s body ve vrcholech (obrázek 14-8). V buňce je dvojice rovin symetrie a pět dvojčetných rotačních os symetrie – v centru buňky a na poloviční vzdálenosti středového a okrajových uzlů. Tato rovinná mřížka se někdy označuje jako pravoúhlá centrovaná.

Tvoří-li tři body základní buňky rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník vznikne tetragonální rovinná mřížka (obrázek 14-9). Vzniklá čtvercová síť má a0 = b0 a g = 90°. Ve středu buňky je tak čtyřčetná rotační osa symetrie a s ní paralelní čtyři roviny symetrie (obrázek 14-10).

Poslední možností je uspořádání uzlových bodů do tvaru rovnostranného trojúhelníku. Vznikne hexagonální rovinná mřížka se základní buňkou ve tvaru kosočtverce, kde a0 = b0 a g =120° (obrázek 14-11). V celkové symetrii (minimálně 4 základní buňky) najdeme šestičetnou rotační osu symetrie, 6 trojčetných rotačních os symetrie a několik rovin symetrie. V rámci jediné základní buňky je v těžišti buňky dvojčetná rotační osa symetrie (obrázek 14-12).

1.4.4.2  Prostorové Bravaisovy mřížky – primitivní

Prostorovou mřížku vytvoříme opakováním základního motivu rovinných mřížek ve třetím nekomplanárním směru. Lze dokázat, že existuje pouze 14 jedinečných možností, jak v prostoru poskládat pět rovinných mřížek a těmto možnostem odpovídá 14 typů prostorových Bravaisových mřížek.

Bravaisovy mřížky tvoří pro každou strukturu tzv. základní buňku, což je jedna z možných buněk mřížky, ale vybraná tak, aby danou mřížku reprezentovala. Výběr základní buňky se řídí podle těchto Bravaisových pravidel:

  1. Počet pravých úhlů v základní buňce musí být maximální.

  2. Symetrie základní buňky musí být shodná se symetrií celé mřížky.

  3. Při dodržení předchozích podmínek musí být objem základní buňky minimální.

  4. V případě, kdy symetrie nemůže rozhodnout, vybírá se základní buňka, tak aby její hrany byly co nejkratší.

Základní vektory (a, b, c) jsou definovány hranami základní buňky a jejich délky jsou základní periody identity (a, b, c). Společně se třemi úhly (a, b, g), které základní vektory svírají, tvoří těchto šest hodnot tzv. mřížkové parametry.

Čtrnáct Bravaisových mřížek (základních buněk) můžeme rozdělit na 7 primitivních a 7 centrovaných. Tyto mřížky representují 14 jedině možných způsobů, jak vyplnit prostor uzlovými body při zachování periodického uspořádání. Všechny krystalické látky mají za základ jednu z těchto mřížek. Každá krystalová struktura má pouze jednu Bravaisovu mřížku.

Triklinická P-mřížka vzniká vrstvením rovinných kosoúhlých (obecných) sítí s uzlovými body nad sebou tak, že mřížkové body v jednotlivých vrstvených rovinách neleží na dvojčetných osách a tím se tyto v celkové symetrii neuplatní a vznikne triklinická primitivní mřížka (obrázek 14-13). Mřížkové parametry triklinické P-mřížky jsou: a0 ≠ c0 ≠ b0 a a ¹ b ¹ g.

Monoklinická P-mřížka vznikne vrstvením rovinných mřížek s kosoúhlou základní buňkou přímo nad sebe s mezivrstevní vzdáleností b0 (obrázek 14-14). Mřížkové parametry monoklinické P-mřížky jsou: a0 ≠ c0 ≠ b0 a a = g, b > 90°.

Rombická P-mřížka vznikne vrstvením rovinných sítí s pravoúhlou základní buňkou přímo nad sebe s mezirovinnou vzdáleností c0 (obrázek 14-15). Mřížkové parametry v rombické P-mřížce jsou: a0 ≠ c0 ≠ b0, a = b = g = 90°.

Tetragonální P-mřížka vzniká vrstvením rovinných sítí se čtvercovou základní buňkou přímo nad sebe s mezirovinnou vzdáleností c0 ≠ a0 = b0 (obrázek 14-16). Mřížkové parametry v tetragonální P-mřížce jsou: c0 ≠ a0 = b0, a = b = g = 90°.

Hexagonální P-mřížka může vzniknout vrstvením hexagonálních sítí s kosočtverečnou základní buňkou (g = 120°) přímo nad sebe s mezivrstevní vzdáleností c0 (obrázek 14-17). Mřížkové parametry v hexagonální P-mřížce jsou: c0 ≠ a0 = b0, a = b = 90°, g = 120°. Jinou možností je vrstvení hexagonálních sítí s kosočtverečnou základní buňkou (g = 120°) tak, že další síť je ve výšce c0/3 a mřížkový bod leží na trojčetné ose. Třetí rovina ve výšce 2/3 c0 má mřížkový bod rovněž na trojčetné ose. Čtvrtá rovina leží přímo nad první. Takové uspořádání redukuje šestičetné osy na trojčetné a jsou odstraněny některé roviny symetrie a dvojčetné rotační osy symetrie rovnoběžné s c. Taková buňka se označuje jako romboedrická R-mřížka (obrázek 14-18).

Kubická P-mřížka vznikne vrstvením rovinných sítí se čtvercovou základní buňkou nad sebe s mezivrstevní vzdáleností c0 = a0 = b0 (obrázek 14-19). Mřížkové parametry kubické P-mřížky jsou: c0 = a0 = b0, a = b = g = 90°.

1.4.4.3  Prostorové Bravaisovy mřížky – centrované

Vznik centrované buňky je spjat s otázkou, zda je možné vložit do určité P-mřížky další jednu nebo více mřížkových rovin bez porušení symetrie. U primitivních mřížek patří každý uzlový bod ve vrcholech rovnoběžnostěnu dané buňce z 1/8, takže v průměru připadá ve struktuře na každou buňku jeden uzlový bod. V centrovaných mřížkách je vložena další rovinná síť uzlových bodů (bez porušení původní symetrie) a tím na jednu buňku připadají alespoň dva uzlové body.

Buňky s uzlovým bodem ve středu bazálních ploch se označují jako bazálně centrované a značí se C (obrázek 14-20), uzlové body v bočních stěnách mají bazálně centrované buňky typu B a centrovanou přední a zadní stěnu mají bazálně centrované buňky typu A. Uzlové body centrující středy ploch buňky náleží dané buňce z ½, takže na bazálně centrovanou buňku připadají ve struktuře dva uzlové body. Buňky s uzlem v průsečíku tělesových úhlopříček rovnoběžnostěnu jsou prostorově centrované (označují se I) a mají dva uzlové body na jednu buňku (obrázek 14-21). Buňky centrované ve středu všech ploch rovnoběžnostěnu (obrázek 14-22) jsou plošně centrované (označení F) a obsahují čtyři uzlové body na jednu buňku dané struktury.

Centrované mřížky lze odvozovat z mřížek primitivních (příklad v monoklinické soustavě). V konečném výsledku můžeme konstatovat, že v každé krystalové soustavě existuje po jedné primitivní mřížce a dále sedm centrovaných mřížek: v monoklinické soustavě je to bazálně centrovaná C-mřížka, v rombické soustavě bazálně centrovaná A-(B- nebo C-) mřížka, tělesově centrovaná I- a plošně centrovaná F-mřížka. V tetragonální soustavě najdeme tělesově centrovanou I-mřížku a v kubické soustavě centrovanou I-mřížku a plošně centrovanou F-mřížku. Všechny typy mřížek reprezentované 14 Bravaisovými buňkami jsou na obrázku 14-23.

S výjimkou trigonální R-mřížky je u centrovaných mřížek dané soustavy potřeba zachovat celkovou symetrii primitivní mřížky. Všechny prvky symetrie zůstanou zachovány v případě, že měníme pouze operace symetrie obsahující translační složku. Můžeme tedy vkládat nové prvky symetrie jako šroubové osy a skluzové roviny.

 

1.4.5  Krystalové soustavy

Každý typ prostorové mřížky je definován třemi nekomplanárními vektory a, b, c a tyto je třeba vztáhnout ke krystalografickým osám x, y, z. Orientace prostorové mřížky se pak obvykle provádí tak, aby směry rotačních nebo inverzních os symetrie, popř. normály rovin symetrie byly paralelní s vektory a, b, c nebo krystalografickými osami.

Na základě vzájemného vztahu základních vektorů, můžeme vyčlenit sedm osních systémů (krystalových soustav), které odpovídají sedmi možným primitivním Bravaisovým prostorovým buňkám. Všechny mřížky, krystalové struktury a krystalové tvary, které mohou být definovány stejným systémem souřadných os, patří téže krystalové soustavě.

Hexagonální a trigonální soustava mají sice stejný osní systém, ale zpravidla se vyčleňují zvlášť. Pro hexagonální soustavu je charakteristická přítomnost šestičetných rotačních a inverzních os symetrie, pro trigonální soustavu jsou charakteristické osy trojčetné a trojčetné inverzní.

Rozlišují se následující krystalové soustavy:

1.4.6  Indexy mřížkových uzlů

Pro snazší orientaci v krystalové mřížce je třeba označit (indexovat) jednotlivé mřížkové uzly. Je-li některý uzel mřížky shodný s počátkem souřadného systému, potom radiusvektor libovolného uzlu mřížky může být vyjádřen vztahem:

t[mnp] = ma + nb + pc,

kde a, b, c jsou translační vektory periody identity definující elementární buňku mřížky (definují směry krystalografických os) a m, n, p jsou indexy uzlů (obrázek 14-30). Nachází-li se uzlové body ve vrcholech elementárních buněk, jsou indexy m, n, p celočíselné. Skupina těchto tří indexů charakterizuje každý uzel a označuje se jako symbol uzlu – mnp (rovněž se užívá uvw).

 

1.4.7  Indexy mřížkových přímek

Přímky definované uzlovými body označujeme jako uzlové (mřížkové) přímky. V krystalové mřížce se uzlové přímky vyskytují v nekonečných množinách, kdy každá množina je definována periodou identity (vzdáleností mezi uzlovými body) a jejím směrem (orientací vůči souřadným osám). K indexování určité množiny přímek vybíráme vždy přímku procházející počátkem. Tato je pak jednoznačně charakterizována indexy prvního uzlu od počátku, který na ní leží (obrázek 14-31). Indexy mřížkové přímky značíme [uvw] a hovoříme pak o Millerových indexech dané přímky [uvw].

Indexy uzlu uvw nemusí být vždy celá čísla a v takovém případě tvoří symbol přímky skupina tří nejmenších celých čísel, které jsou ve stejném poměru jako indexy uzlového bodu. Např. v primitivní a tělesově centrované kubické mřížce má směr tělesové úhlopříčky symbol [111], i když v tělesově centrované mřížce je prvním bodem na přímce bod [½ ½ ½] (obrázek 14-32).

Millerovými indexy můžeme určit směry všech mřížkových přímek, tedy i souřadných os. Osa x má indexy [100], osa y [010] a osa z [001]. Prostorové úhlopříčky kubické buňky jsou charakterizovány symboly [111], [-111], [1-11] a [11-1] a další čtyři možné symboly odpovídají jen opačné polaritě těchto směrů, např. [-111] je antiparalelní k [1-1-1]. Uzlové přímky ve všech těchto 8 směrech se od sebe liší pouze svojí orientací vzhledem k souřadným osám, neliší se však v hustotě obsazení uzlovými body (mají stejnou periodu identity). V takovém případě označujeme tyto směry jako krystalograficky ekvivalentní a označujeme je <111>.

1.4.8  Indexy mřížkových rovin

V libovolné struktuře najdeme nekonečné množství uzlových rovin, které jsou definovány třemi uzlovými body neležícími na jedné přímce. Pokud mají jednotlivé mřížkové roviny stejnou vzájemnou mezirovinnou vzdálenost (symbol d) a shodnou hustotu obsazování mřížkovými uzly tvoří množinu vzájemně stejnocenných strukturních rovin, které se mohou na vnějším tvaru krystalu projevit jako jedna krystalová plocha. Pro vzájemnou identifikaci stačí charakterizovat orientaci roviny nejbližší počátku a její vzdálenost od počátku považovat za mezirovinnou vzdálenost dané množiny stejnocenných rovin. Tato rovina vytíná na osách úseky základní periody identity a/h, b/k, c/l (obrázek 14-33). Celá čísla h, k, l charakterizují orientaci roviny a označují se jako Millerovy indexy roviny (hkl).

Indexy (hkl) množiny navzájem rovnoběžných rovin udávají, kolikrát se úseky vytnuté na souřadnicových osách první rovinou od počátku (z celé množiny ekvivalentních rovin) vejdou do periody identity odpovídajících os (obrázek 14-34).

Strukturní roviny, které se liší svojí orientací, ale mají stejnou hustotu obsazení uzlovými body a stejnou mezirovinnou vzdálenost, jsou krystalograficky ekvivalentní. Množinu krystalograficky ekvivalentních rovin značíme {hkl} a počet těchto rovin nazýváme četnost. Např. v elementární kubické buňce obsahuje systém {100} tyto roviny: (100), (010), (001), (-100), (0-10) , (00-1). V rombické buňce však symbol {100} znamená pouze roviny (100) a (-100). Počet krystalograficky ekvivalentních rovin tedy závisí na symetrii mřížky.

Skupina rovin, které mají společný směr, se nazývá zóna (nebo pásmo). Společný směr (osa zóny) je rovnoběžný s průsečnicemi jednotlivých rovin zóny (viz kapitola 2.2.8.2.).

1.4.9  Krystalová struktura

Abychom postoupili od pojmu krystalové mřížky k pojmu krystalové struktury, musí být kolem uzlových bodů krystalové mřížky rozmístěny stavební částice jako jsou atomy, ionty nebo molekuly. Seskupení částic kolem identických bodů mřížky musí být rovněž identické. Krystalová struktura je tedy složena z krystalové mřížky a báze, tj. stavebních částic uspořádaných kolem identických uzlů mřížky (obrázek 14-35).

Důležitou charakteristikou každé struktury je celé číslo Z, které udává počet vzorcových jednotek minerálu připadajících na základní buňku mřížky. Příkladem může být minerál křemen se vzorcovým složením SiO2, jehož Z = 3. To znamená, že v základní buňce struktury křemene najdeme tři atomy křemíku a šest atomů kyslíku.

Pro lepší pochopení krystalových struktur a lepší prostorovou představu se používá nejrůznějších způsobů zobrazení krystalových struktur. Používá se různých prostorových kuličkových modelů, schematických nákresů nebo v poslední době jsou hojně rozšířené speciální programy umožňující vizualizaci různými způsoby.

Zpět na hlavní stránku